Maxwell方程式と伝送線路 その3 伝送線路パラメータの導出方法
以前書いた記事（Maxwell方程式と伝送線路 その1、その2）で、TEM波で伝送する線路における電圧、電流、L、C、特性インピーダンスZの基礎的な理論について触れた。今日はTEM波の理論式から伝送線路（分布定数線路）のパラメータを導出する手順を示す。
伝搬係数
伝送線路（分布定数回路）の伝搬係数λは、TEM波における電界E、磁界Hの伝搬係数に対応する。TEM波の伝搬係数λは、空間の媒質の物性値によってのみ決まる。
単位長さ当たりの静電容量C
図 2導体系での積分経路
単位長さ当たりの容量Cは1V与えたときに単位長さ当たりに蓄えられる電荷量である。その定義は単位長さあたりの電荷qを用いて
となる。電界EはTEM波の場合はポテンシャル場となり、片方の導体を電位の基準として導体間の電圧が１Vのときのポテンシャルの分布をφ0とすると
と記述できる。ここでVは導体間電圧である。するとCの定義式の分母は
となるため、Vが分母分子で打ち消すことができ
となる。すなわち、ポテンシャルφ0の分布が分かれば、Cを求めることが可能である。また、静電容量Cが求まれば、媒質の電気伝導率σによって生じる媒質での単位長さあたりのコンダクタンスGも即座に求まる。
単位長さ当たりのインダクタンスL
単位長さあたりのインダクタンスは、導体に流れる電流Iよって生じる単位長さあたりの鎖交磁束Ψの比であり、以下のように定義される。
これより磁界Hの分布が分かれば、Lが求まることが分かる。ここでHはTEM波の関係式により、入反射成分に分離すれば電界Eで表現できる。
この関係式を用いて、Ψ、Iを計算する。
よって
となる。これよりCが求まれば、すぐに単位長さ当たりのLも求めることが可能である。TEM波伝送線路において、単位長さ当たりのLはCに対して独立に決められるものではないことが興味深い。
特性インピーダンスZ0
特性インピーダンスZ0は以前求めた通り、以下の式で表すことができる。
（無損失の場合は以下となる。）
これより、LもしくはCが求まれば特性インピーダンスZ0は即計算可能である。なお文献（伊藤健一著「分布定数回路のはなし」p74）でLがなくてもCだけ求まれば特性インピーダンスを計算できる旨書かれているが、上記の式により説明できる。無損失の場合、
より
（cは媒質中での光速）
となり、文献の式と一致する。
以上よりφ0の分布が分かれば、C、G、Lが分かり、Cが分かればZ0が分かるので、φ0の分布が分かれば分布定数回路のC、G、L、Z0が求められる。
ポテンシャル分布の求め方
電位ポテンシャルφ0は、ラプラス方程式に従い、導体表面で値が0もしくは1に固定（ディリクレ型境界条件）される楕円型方程式の境界値問題となる。
・閉じた系の場合
同軸線のように，一方の導体で閉じている場合は，全ての境界がディリクレ型境界となるので，そのままこの式を解けばよい。
図 閉じた系の境界条件
・開放系の場合
平行2線(レッヘル線)など領域が導体で閉じていない場合は，外部領域の境界条件も必要になる。この場合，無限遠で
という条件が課せられるが，φに直すと
という条件になる。これは自然境界条件が無限遠で課せられることを意味する。
図 開放系の境界条件
一般に任意の形状の楕円型方程式を取り扱う場合，解析的に解くのは困難である。ラプラス方程式を解くならば，有限要素法などの数値解析を用いると比較的容易に近似解を求めることが可能である。有限要素法を用いて開放系を解く場合は，無限遠を直接取り扱うのは困難なため，十分な大きさの領域を導体外部に取り，自然境界条件を課せば良い。
TEM波と準TEM波近似
今まで議論してきた内容は，TEM波近似が成り立つ伝送線路に関するものであった。同軸線やストリップ線路など，電磁波の伝わる領域の媒質が単一な場合に限られる。実際の伝送線路はマイクロストリップ線路のように一部が誘電体でそれ以外の領域が空気であるものが多い。この場合，電磁波の伝わる領域の媒質が2種類となり，誘電率が異なるため媒質ごとに光速が変わってしまう。光速が異なる物質が存在している場合，TEM波近似は成立しなくなる。
図 マイクロストリップ線路
媒質が一様でない場合でもマイクロストリップラインなど一般的な伝送線路の特性インピーダンスは良く知られる計算式があり，Web上でも特性インピーダンスを計算してくれるサイトがある。TEM波近似が適用できない線路でも，準TEM波(Quasi TEM)近似を用いることにより計算可能であるが，今後は準TEM波近似について調べたいと思う。
