Maxwell方程式と伝送線路 その4 同軸線の解析的な特性計算

　ラプラス方程式の境界値問題を解くことにより，TEM波伝送線路の各パラメータ（特性インピーダンスなど）を計算できることを先日述べた。任意形状に関して言えば有限要素法などの数値解析を用いることによりラプラス方程式を解くことができるが，幾何学的形状が単純な場合は，解析的にTEM波の各パラメータを計算することができる。その一例として同軸線の解析解を導出したい。
　　　　　　
　　　　　　　　図　同軸線
　図に示すように、内側の導体の半径がa、外皮胴体の半径をbとした同軸線を考える。TEM波近似を行っている場合、電界・磁界ともに静電的に振舞うので、Ampereの法則と静電界の式から単位長さ当たりの静電容量・インダクタンスを計算して特性インピーダンスを解析的に計算するという方法がよく取られる。（そしてそれが一般的な解法だと思う。）しかし、静電ポテンシャルから計算する方法を以前示したので、その方法で伝送線路のパラメータを導出したい。
　　　　　　
　　　　　　　　図　同軸線のポテンシャル境界条件
図の形状の場合、軸対称な場となるので、ポテンシャルに関するラプラス方程式は半径rを変数とする以下の式で記述することができる。
　　
このときφの一般解は
　　
となる。半径r = aのときの境界条件は、φ= 1、半径r = bのときの境界条件はφ = 0となるので、これを満たすφ0は
　　
となる。
　このφ0の分布から単位長さあたりの静電容量Cを計算する。内部導体を囲う円上でガウスの定理を適用すれば良い。
　　
Cが分かれば以下の式より即単位長さあたりのインダクタンスLが求まる。
　　
特性インピーダンスも直ちに計算できる。
　　
　　Zw：波動インピーダンス
媒質が無損失な無損失線路の場合、
　　
より
　　
となる。ここからさらに一般的に用いられる同軸線の特性インピーダンス計算式を求める。一般に同軸線に使用される材料は非磁性体なので、μは真空の透磁率μ0=4πe-7となる。また真空中での光速cを3.0e8 m/sとして計算していくと
　　
となる。式に現れる自然対数の部分を対数の基底変換により常用対数に変換する。すると
　　
となるため、Z0は
　　
となり、Wikipediaなどで記載されている一般的な計算式と一致する。