伝送線路のインピーダンスについて - ykondo813’s diary（旧パワエレ・EMC日記）

任意負荷が接続されたRLCG伝送線路の入力インピーダンス

　分布定数回路の理論式から、任意の負荷が接続された場合のインピーダンスの算出方法をこの記事で示したい。特性インピーダンスが $Z_0$ で長さ $l$ の伝送線路の先に、インピーダンス $Z_L$ の負荷がある場合を考える。この系の $x=0$ の場所から見たインピーダンスを求めたい。
　　　
　　　　Fig.1 インピーダンス $Z_L$ で終端された分布定数回路

　この系の電圧、電流を決定することは、 $0{\leqq}x{\leqq}l$ 領域で定義された常微分方程式を解くことである。また、RLCG分布定数回路の一般解は様々な教科書にて既に求められており、本ブログでも導出した。
ykondo813.hatenadiary.jp

　RLCG分布定数回路の一般解を以下に示す。V、Iの一般解は
　　　 $V(x)=V_{i}e^{{-\lambda}x}+V_{r}e^{{\lambda}x}$
　　　 $I(x)=I_{i}e^{{-\lambda}x}+I_{r}e^{{\lambda}x}$
である。ここで $\lambda$ の導出は以前の記事を参照のこと。
ykondo813.hatenadiary.jp

　未知変数は $V_i$ と $V_r$ （もしくは $I_i$ と $I_r$ ）の2つであるため、 $x=0$ 、 $x=l$ に適切な終端条件（境界条件）を決めてやれば場の電圧、電流は全て決まる。 $x=l$ での終端条件は、インピーダンス $Z_L$ の負荷であるため、電圧 $V$ と電流 $I$ の間には以下の関係式が成り立つ。
　　　 $\displaystyle V(l)=Z_L I(l)$
一般解に対して $x$ に $l$ を代入すると以下となる。

　　　 $V(l)=V_{i}e^{{-\lambda}l}+V_{r}e^{{\lambda}l}$
　　　 $I(l)=I_{i}e^{{-\lambda}l}+I_{r}e^{{\lambda}l}$

さらに、 $V_i$ と $I_i$ 、 $V_r$ と $I_r$ は特性インピーダンス $Z_0$ で変換可能なことを考慮すると

　　　 $\displaystyle V_{i}e^{-\lambda l}+V_{r}e^{\lambda l}=Z_L(I_{i}e^{-\lambda l} + I_{r}e^{\lambda l})$

　　　 $\displaystyle \leftrightarrow V_{i}e^{-\lambda l}+V_{r}e^{\lambda l}=\frac{Z_L}{Z_0}(V_{i}e^{-\lambda l} - V_{r}e^{\lambda l})$

　　　 $\displaystyle \leftrightarrow \left( 1-\frac{Z_L}{Z_0} \right) V_{i}e^{-\lambda l}= \left( 1+\frac{Z_L}{Z_0} \right) V_{r}e^{\lambda l}$

　　　 $\displaystyle \leftrightarrow V_r=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}e^{-2\lambda l}V_i$

と式変形できる。これにより、入射電圧 $V_i$ と反射電圧 $V_r$ の関係が求まり、系の未知変数は1つだけになる。（つまり、 $V_r$ か $V_i$ のどちらか一つが決めれば、全ての変数が決まる。）
今回の目的は、長さ $l$ の伝送線路に負荷 $Z_L$ が接続された時のインピーダンスを求めることである。すなわち $x=0$ における電圧 $V(0)$ 、電流 $I(0)$ の比を求めれば良い。 $V(0)$ 、 $I(0)$ は以下となる。

　　　 $\displaystyle V(0)=V_i+V_r$
　　　 $\displaystyle I(0)=I_i+I_r$

$V_i$ と $V_r$ の関係式は、先ほどの $Z_L$ での終端条件より
　　　 $\displaystyle V_r=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}e^{-2\lambda l}V_i$
なので、代入して式変形をしていくと
　　　 $\displaystyle V(0)=V_{i} \left( 1+\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}e^{-2\lambda l} \right)$
　　　 $\displaystyle I(0)=I_{i} \left( 1-\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}e^{-2\lambda l} \right)$
となる。ここで、 $V_i$ と $I_i$ の関係式 $I_i=V_{i}/Z_0$ および $V_r$ と $I_r$ の関係式 $I_r=-V_{r}/Z_0$ を用いた。さらに式変形をしていくと

　　　 $\displaystyle Z=\frac{V(0)}{I(0)}=Z_0\frac{Z_L+Z_0+(Z_L-Z_0)e^{-2\lambda l}} {Z_L+Z_0-(Z_L-Z_0)e^{-2\lambda l}} \\\ \displaystyle = Z_0\frac{ Z_L (e^{\lambda l}+e^{-\lambda l}) + Z_0 (e^{\lambda l}-e^{-\lambda l}) } { Z_L (e^{\lambda l}-e^{-\lambda l}) + Z_0 (e^{\lambda l}+e^{-\lambda l}) } \\\ \displaystyle = Z_0 \frac{ Z_L+Z_0 \tanh(\lambda l) } { Z_0+Z_L \tanh(\lambda l) }$

となり、長さ $l$ の分布定数回路にインピーダンス $Z_L$ が接続されたときのインピーダンス $Z$ が計算できた。

RLCG伝送線路のZパラメータ算出

　長さ $l$ の伝送線路は2ポートの回路（4端子回路、2端子対回路）として表記できる。上記とほぼ同様の手順にてZパラメータ等の回路パラメータを算出できるため、ここで示したい。
　　　
　　　Fig.2 長さlの分布定数回路（2端子対回路）
　Zパラメータの定義は、各端子対に一定電流を流した時に、各端子対に発生する電圧で定義できる。行列形式で記述すると以下となる。
　　　 $\displaystyle { \begin{bmatrix} V_1 \\\ V_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} Z_{11} & Z_{12} \\\ Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_{1} \\\ I_{2} \end{bmatrix} }$
伝送線路は対称なため、 $Z_{11}$ と $Z_{21}$ を求めれば良い。
$Z_{11}$ は、ポート2をオープンにしたときのポート1の電圧、電流比である。よって先ほど求めた入力インピーダンスから、 $Z_L$ を無限大の極限を置くことにより計算できる。
　　　 $\displaystyle{ Z_{11} = Z_0 \frac{1}{\tanh(\lambda l)} =Z_0 \coth(\lambda l) }$
　また、 $Z_{21}$ は、ポート2をオープンにしたときにポート1に流れる電流とポート2の電圧の比である。すなわち、伝送線路の座標で考えたときに、 $x=l$ の場所での電圧（ポート2の電圧）と、 $x=0$ の場所での電流（ポート1の電流）の比を計算すれば良い。
　　　 $\displaystyle { Z_{21} = \frac{V(l)}{I(0)} = \frac{ V_{i} e^{-\lambda l} + V_{r} e^{\lambda l} } {I_i + I_r} }$
ここで、負荷 $Z_L$ が無限大とすることにより、 $V_i$ と $V_r$ の比が求まる。
　　　 $\displaystyle { V_r = e^{-2\lambda l} V_i }$
また、負荷 $Z_L$ が無限大であることにより $I(l) =0$ となるため、 $I_i$ と $I_r$ の関係も求まる。
　　　 $\displaystyle { I(l) = I_i e^{-\lambda l} + I_r e^{\lambda l} = 0 \\\ \leftrightarrow I_r = - I_i e^{-2\lambda l} }$
ここから式を整理していくと、
　　　 $\displaystyle { Z_{21} = \frac{ 2V_i e^{-\lambda l}} {I_i(1-e^{-2\lambda l} ) } = \frac{ V_i } {I_i} \frac{2}{e^{-\lambda l}+e^{\lambda l}} \\\ = \frac{Z_0} {\sinh(\lambda l)} }$
となる。以上をまとめると、伝送線路のZパラメータは以下のように表現される。
　　　 $\displaystyle { \begin{bmatrix} Z \end{bmatrix} = Z_0 \begin{bmatrix} \coth(\lambda l) & 1/ \sinh(\lambda l) \\\ 1/ \sinh(\lambda l) & \coth(\lambda l) \end{bmatrix} }$
無損失の伝送線路の場合、 $\lambda$ は $j\beta$ $(\beta = \sqrt{LC})$ となるので
　　　 $\displaystyle { \begin{bmatrix} Z \end{bmatrix} = jZ_0 \begin{bmatrix} \cot(\beta l) & 1/ \sin(\beta l) \\\ 1/ \sin(\beta l) & \cot(\beta l) \end{bmatrix} }$
となる。
　Zパラメータが求まれば、Yパラメータ、Sパラメータ、F行列（ABCDパラメータ）等の2端子対回路のパラメータは変換をすることにより計算可能である。

___
伝送線路方程式の一般解の数式が間違っていましたので修正しました。2018/10/29
数式をTex化しました。2019/01/06