Maxwell方程式と伝送線路　その1　TEM波の式の導出 - ykondo813’s diary（旧パワエレ・EMC日記）

　伝送線路の分布定数回路の方程式は、電圧および電流を波として捉えて記述したものであり、集中定数回路（普通の回路）と比較して距離の概念を追加したものである、と言われている。ちょうどMaxwellの方程式と集中定数回路の中間的なものであるが、Maxwell方程式から伝送線路の方程式を示すことにより、どのような仮定のもとで伝送線の方程式が成り立っているのかを確認したい。
　伝送線路は2平行線路のTEM（Transverse Electromagnetic）波から導出することが可能である。今回は伝送線路の式を導出する前段階として、2次元断面形状を持つ導体上のTEM波の式を導出する。

　出発点はMaxwellの方程式である。
　　　Faradayの法則
　　　修正Ampereの法則
　　　電荷保存則
　　　磁荷不在の法則
ここでEは電界、Bは磁束密度、Hは磁界、Jは電流密度、Dは電束密度を表す。EとDおよびJの関係およびHとBの関係を表す構成方程式は下記の通りである。
　　
　　
　　
ただし、εは誘電率、σは導電率、μは透磁率を表す。以降、ε、σ、μを定数とした線形の状態で議論する。

電磁波の波動方程式
　TEM波の方程式は幾何学的な制約の元に導出されるが、制約がないときの一般的な電磁波に関する波動方程式を導出しておく。
Faradayの法則の回転を取りAmpereの法則を代入する。
　　
　　
左辺の回転に関して、として変形すると
　　
となるので、
　　
となる。真空のような電流が流れない媒質だと仮定するとσがゼロとなり、Eに関する波動方程式が得られる。
　　
Ampereの法則の回転にFaradayの法則を代入することにより、Hに対しても同様の式を得ることができる。
　　
　　
より左辺はラプラシアンになるので、以下の式が導出できる。
　　
σがゼロの場合、Hに対する波動方程式が得られる。
　　

並行線路とTEM波近似
　z方向に形状の変化しない2本の導体を考える。導体は一様な誘電率ε、透磁率μで覆われているものとする。2本の線に交流電流が流れたときの電磁界をMaxwellの方程式から導出する。
　　　　　　
ここでTEM（Transverse ElectroMagnetic）波の仮定を導入する。すなわち、電界Eおよび磁界Hはz方向成分を持たないとする。Transverseは横を意味し、EおよびHが横方向、つまりXY方向成分しか持たないことを意味する。
　Faradayの法則にTEM波の近似を導入して整理する。
　　
　　　(∴z成分のEおよびHがゼロ)
ここで添字tはtransverseの意味であり、x-y方向成分のみの空間を意味する。Hのz方向成分がないため、xy平面内にてEtの回転がゼロになるという式が求まる。さらに回転をとる。左辺は下記の通り。
　　
また右辺の磁界の項の回転は
　　
となるため、
　　
となる。このままだと、div(Et)はz方向に対して一定となるが、媒質中に電荷がないとすると、が成立する。以上をまとめると
　　
　　
　　
となる。磁界Hに対しても同様の式変形より同じ微分方程式が導かれる。
　　
　　
　　
　時間に関する一階の偏微分項にある導電率σについて考える。線路を為す導体の導電率として考えた場合、電流を導体に流すためにz方向の電界が必要となるが、そうするとTEM波近似に反してしまう。通常TEM波近似する場合は、線路を為す導体の導電率は十分に高いとして完全導体近似を適用し、導体内部を考えないとしている。TEM波近似をしているときの右辺第1項のσは、導体を覆う絶縁体媒質が持つ、小さな導電率を意味する。媒質が完全な絶縁体、すなわちσがゼロの場合、EおよびHの式は以下の波動方程式に他ならない。
　　
　　
ここで興味深いのは、時間微分に関係する空間微分項はz方向に関するもののみであることである。TEM波近似することによりz方向、すなわち導体の向きにのみに関する波動方程式となることである。

z方向に関する一般解
　電磁界に対して、複素数近似を適用し時間微分をjωとする。すると電界Eに関する方程式は
　　
となる。これはzに関する2階の常微分方程式となるので、z方向に関して次の一般解を得ることができる。
　　
　　
第1項は+z方向に進行する波を表し、第2項は-z方向に進行する波である。+z方向に進む波を一般的には入射波、-z方向に進む波を反射波と呼ぶ。磁界Hも同じ微分方程式なので、その一般解はEの場合と同じで以下となる。
　　
ここで求めたEおよびHはあくまでも一般解であり、実際の解を決めるにはどこか適当なzにおける境界条件を決める必要がある。
　一般解が求まったので、EとHの関係について改めて一般解から言及する。TEM波近似している場合、Faradayの法則は
　　
となる。ここでkはz方向の向きを持つ単位ベクトルである。一般解を代入すると、
　　
となり、これより以下の関係式が求まる。
　　
これはEの入射波とHの入射波、Eの反射波とHの反射波はお互いに直交することを意味する。また、入射電界と入射磁界（もしくは反射電界と反射磁界）の大きさの比は波動インピーダンスと呼ばれる。Zwを波動インピーダンスとすると、Zwは以下となる。
　　
σ=0のときにとなる。同様の式はAmpereからも導出可能である。
　　

xy面内方向におけるラプラス方程式
　xy平面内でのE、Hに対する方程式からラプラス方程式を導出することができる。E、Hはxy面内での回転成分がゼロである。
　　
　　
これより、ポテンシャルの勾配として表すことができる。
　　
　　
面内における発散もゼロなので、ポテンシャル表示の式に対して発散を取ることにより、ラプラス方程式が導出される。
　　
　　
xy平面内でのEおよびHの分布を求めるためには、導体表面などで適切な境界条件を与え、なおかつz方向に対する境界条件が必要となる。詳細はまた次回記載する。